שפה היא מערכת סמלים שבעזרתם ניתן להעביר מסרים בעלי משמעות. ניתן להגדיר שפה כבעלת סמלים ייחודיים, בעלת חוקי תחביר ייחודיים המאפשרת שימוש בסמלים, הניתנת לתיעוד באמצעות כתיבה וניתן להשתמש בה כדי לייצג משמעות בתחום מוגדר.
אם זו הגדרה כלשהי של שפה, כי אז גם מתמטיקה עונה להגדרה של שפה. למרות שהמתמטיקה אינה שפה כמו השפה האנגלית למשל אבל היא בהחלט מסייעת לארגן מושגים במוחם של אנשים, היא כוללת סמלים רבים לפחות כמספר סמלי שפות דיבור, היא כוללת כללי תחביר ואוצר מילים ייחודי לה.
המתמטיקה גם שואלת ומשאילה מילים משפות אחרות למשל המילה רדיוס מלטינית, ואליפסה ופרבולה מיוונית. המילה משולש שמגדירה ישות מתמטית מושאלת לשפות דיבור כתיאור מערכת יחסים בין בני אדם או סיבוב של 180 מעלות כתיאור להיפוך בדעות.
אפילו הקושי ברכישת שפת המתמטיקה דומה לקושי ברכישת שפה זרה. ואכן ישנן הקבלות בין שפת המתמטיקה לשפות הדיבור. אבל המתמטיקה אינה שפה במובן הרגיל של המילה. לא ניתן לומר במתמטיקה משפטים כמו "היום השמש זורחת" או "אני אוהב אותך" כפי שניתן לומר בכל שפה טבעית קיימת. אפשר אולי להגדיר את המתמטיקה לא כשפה אלא כז'רגון כפי שהרופאים משמשים בז'רגון משלהם השאול מלטינית או יוונית המשמש כאמצעי עזר לתיאור היבטים רבים וחשובים של עולמנו הפיסי והרוחני כשיטה וכדרך חשיבה, אבל לא מעבר לזה.
התפיסה הנפוצה היא שמתמטיקה היא שפה מדויקת וברורה אבל יש במתמטיקה גם הרבה דמיון וערפול. למשל בבעיה הבאה:
סכומם של צירופים זוגיים של "אחדים" בסדרה להלן הוא אפס וסכום צירופים אי זוגיים הוא אחד.
1-1+1-1+1-1+1-1=0
1-1+1-1+1-1+1-1+1=1
השאלה שמתמטיקאים שואלים היא מה קורה באינסוף?
a. [1-1]+[1-1]+[1-1]+[1-1]+… => 0
b. 1+[-1+1]+[-1+1]+[-1+1]+[-1+1]+… => 1
אם מפשטים את הבעיה ומתבוננים על טור זה על ידי הוספת סוגריים [1-1] כפי שמופיע בדוגמה a הסכום נראה כאפס ואם ממקמים את הסוגריים כך [-1+1] כפי שמופיע בדוגמה b אז הסכום נראה כמוביל לאחד.
בתחילה המאה ה-18 הבעיה הפשוטה הזו הביכה את המתמטיקאים והניעה חילופי מכתבים סוער בניהם. לייבניץ הציע שמכיוון שבאינסוף איננו יודעים אם המספר זוגי או אי זוגי הרי שהפתרון לא יכול להיות לא 0 ולא אחד אלא אולי ממוצע שלהם, אולי ½. וכך גם התקבל שסכום הטור האינסופי הזה הוא ½ למרות שבפועל התוצאה, ½ גם אינה אפשרית משום שלכאורה היא חייבת להיות או אחת או אפס. וכך רואים את המתח הקיים במתמטיקה בין התחום הברור והמדויק לתחום המעורפל. ומה שבפועל עשה לייבניץ זה שינוי (הטלה) במושג החיבור המתמטי בין התחום הסופי לתחום האינסופי והשערה לגבי התוצאה שעשויה להתקבל על הדעת בפעולת חיבור אינסופית שכזו שהיא לדעתו ½, כי אין כלים מושגיים שניתן בעזרתם לגשת לבעיה. המתמטיקאים כאן מכחישים את התוצאה הפורמלית תוך יצירת השערה דמיונית לא פורמלית בעליל. מושגים באופן כללי הם דינמיים מיסודם וגבולותיהם של מושגים אינם מוגדרים היטב אפילו במתמטיקה.
ישנה הלצה נפוצה על מתמטיקאים המסופרת בגרסאות רבות. הנה גרסת הכדור הפורח. שני אנשים טסו להם בכדור פורח ואיבדו את דרכם. הם הבחינו באדם שעובר תחתיהם וצעקו לו: "איפה אנחנו נמצאים?" ענה להם האיש "בכדור פורח". בעקבות תשובתו אמר אחד הטסים לחברו: "כנראה שהאיש מתמטיקאי אמיתי". וכשנשאל איך הוא יודע זאת הסביר "משתי סיבות: האחת משום שתשובתו מדויקת לגמרי, והשניה משום שזה לא עוזר לנו במאומה".
בבדיחה זו על חשבון המתמטיקאים יש אמת מסוימת. ככל שהמתמטיקה התיאורטית היא היסק אנליטי כך היא אינה מחדשת דבר ותיאורטית כל אדם בעל יכולת היסק מתמטית יוכל להסיק זאת אולם ככל שמתווספות למתמטיקה השערות עובדתיות (שאינן תיאוריה בלבד) כי אז מתווסף יידע.
כדי להדגים זאת נתבונן בטיעון הדדוקטיבי המפורסם:
הנחה א': כל בני האדם הם בני תמותה.
הנחה ב': סוקרטס הוא אדם.
מסקנה: סוקרטס הוא בן תמותה.
המסקנה נובעת מההנחות ללא צורך בידע נוסף. המסקנה מדויקת אבל היא לא מוסיפה מידע משום שהיא כלולה בהנחות. איינשטיין אמר על הגיאומטריה: ככל שהיא ודאית היא איננה עובדתית וככל שהיא עובדתית היא איננה ודאית.
אנליטיות (דדוקציה) לא מספקת מידע חדש. צריך לשער לדמיין ולהעריך לבצע אנלוגיה להשתמש בידע שמגיע מהניסיון כדי להגיע למידע חדש. חשיבה מסוג זה, אינה אנליטית, היא אינה נכונה בהכרח אבל היא מוסיפה ידע והתפתחות.
נדגים טיעון שאינו דדוקציה אנליטית ע"י הטיעון הבא:
הנחה א': סוקרטס הוא אדם.
הנחה ב': סוקרטס הוא בן תמותה.
הנחה ג': כל בני האדם שפגשנו עד עתה הם בני תמותה.
מסקנה: כל בני האדם הם בני תמותה.
טיעון זה אינו נחשב כנכון בהכרח למרות שכולנו בשפת בני האדם משתמשים בטיעונים כאלה כל הזמן. וזה בדיוק ההבדל בין שפת המתמטיקה שהיא אנליטית בלבד לשפת בני האדם שמשלבת הכללות והשערות שאולי אינן נכונות אבל פוטנציאלית מוסיפות ידע.
בעיר קניגסברג, ברוסיה של היום, היו שבעה גשרים שחיברו את חלקי העיר. בין תושבי העיר התפתחה החידה הבאה: האם ניתן לחצות את כל הגשרים מבלי לחצות גשר יותר מפעם אחת. במשך זמן רב ניסו תושבי העיר לפתור את החידה עד שבשנת 1735 הוכיח המתמטיקאי לאונרד אוילר שמסלול שכזה אינו אפשרי. הפתרון של אוילר לבעית הגשרים של קניגסברג מתבסס על תורת הגרפים במתמטיקה ונחשב לתוצאה המעשית הראשונה של תורת הגרפים המתמטית. גם במקרה הזה למרות שיש השלכות מן המתמטיקה על המציאות, המתמטיקה אינה מוסיפה באמת ידע על המציאות.
למתמטיקה השפעה רבה על מדעי הטבע על הפיסיקה, ביולוגיה, כימיה ואף על כלכלה אבל מעט מאוד השפעה כיום על מקצועות הומניים. מתוך הנחה אולי שהתחום ההומני לא יכול להיות מכומת על ידי המתמטיקה.
אולם, המעניין הוא, שישנם קשרים בין מתמטיקה להתפתחות או שינוי שפות טבעיות לאורך זמן. באנגלית למשל הפועל בעבר מזוהה בדרך כלל על ידי הוספת "ed" בסופו למשל walk בהווה לעומת walked בעבר. אולם ישנם מקרים אחרים, חרגים (irregular) כגון think למול thought. מחקר (שנערך ע"י ז'אן-באטיסט מישל) שעקב אחרי יותר ממאה פעלים חריגים ושימושם לאורך ההיסטוריה מהמאה ה-12 והלאה גילה הגיון מתמטי בשינוי ההיסטורי של השפה, שככל שהפועל נפוץ יותר (למשל נפוץ פי מאה) הוא הופך לרגיל פי 10 יותר לאט. כלומר זהו ניתוח מתמטי לשינוי היסטורי של השפה.
ההערכה היא שמשחר ההיסטוריה נכתבו כ-130 מיליון ספרים ומתוכם כ-20 מיליון ספרים כבר עברו דיגיטיזציה על ידי גוגל. מגמת הדיגיטיזציה של הספרות בכלל מאפשרת לבצע על התוכן חקר מתמטי וההנחה היא שבעתיד יתגלו תופעות מתמטיות נוספות הקשורות לתחום המקצועות ההומניים בכלל ולשפות בפרט.
* סיפור הכדור הפורח, הרעיון סביבו ודוגמאות הטיעונים מובאים מהספר "שתי עגלות וכדור פורח" של מיכאל אברהם.
